双星黑洞系统中的章动共振、过渡进动与进动平均演化

在后牛顿（PN）近似下，双星黑洞自旋进动的时间尺度远短于黑洞旋进至更小间距的辐射反作用时间尺度。在进动时间尺度上，总角动量与轨道角动量之间的夹角以章动周期 $\tau$ 振荡，在此期间轨道角动量绕总角动量进动角度 $\alpha$。这定义了两个在辐射反作用时间尺度上变化的不同频率：章动频率 $\omega \equiv 2\pi/\tau$ 与进动频率 $\Omega \equiv \alpha/\tau$。我们利用2PN阶通用自旋进动的解析解，推导了总角动量与轨道角动量的傅里叶级数，其中每一项均为频率为 $\Omega - n\omega$（$n$ 为整数）的正弦函数。随着黑洞旋进，它们可能经过章动共振（$\Omega = n\omega$），此时总角动量发生倾斜。我们推导了该倾斜角的近似表达式，并表明对于双星间距 $r > 10M$ 处的章动共振，其倾斜角通常小于 $10^{-3}$ 弧度。过渡进动（总角动量接近零）期间发生的大倾斜，是此类状态近似为 $n=0$ 章动共振的结果。我们新的总角动量与轨道角动量傅里叶级数随 $n$ 快速收敛，为理解通用进动提供了一种直观且计算高效的方法，可能有助于未来PN近似下引力波形的计算。