有理可解理想的 Null- 与 Positivstellensatz

Hilbert 的 Nullstellensatz 刻画了在 $\mathbb{C}[x]$ 中一个理想的零点集上消失的多项式。在自由代数 $\mathbb{C}\langle X\rangle$ 中，一个双边理想 $I$ 的零点集通过 $\mathbb{C}\langle x\rangle/I$ 的有限维表示中的像以与维度无关的方式定义。本文给出了自由代数中一类简单但重要的理想——暂且称为有理可解理想——的 Nullstellensatz。有理可解理想是指其定义关系可以通过用剩余变量上的非交换有理函数表示某些 $X$ 变量来消去的理想。这样的理想 $I$ 是否满足 Nullstellensatz 与 $\mathbb{C}\langle x\rangle/I$ 到（自由）斜域的嵌入性密切相关。这些概念也被推广到带对合的自由代数。例如，证明了：一个多项式在所有球面等距元组上消失当且仅当它是是由 $1-\sum_j X_j^* X_j$ 生成的双边理想 $I$ 的元素。然后将其应用于自由实代数几何：在球面等距上半正定的多项式是模 $I$ 的 Hermitian 平方和。类似的结果也对 nc 单位群获得。