Rényi 散度及其相关量的非参数估计

我们考虑连续分布之间 $L_2$、Rényi-$\alpha$ 和 Tsallis-$\alpha$ 散度的非参数估计。我们的方法是为两个密度函数的特定积分泛函构造估计量，并将其转化为散度估计量。对于积分泛函，我们的估计量基于对初步 plug-in 估计量的修正。我们证明，当密度函数的光滑度 $s$ 均至少为 $d/4$（其中 $d$ 为维数）时，这些估计量能达到 $n^{-1/2}$ 的参数收敛速率。我们还推导了该问题的 minimax 下界，证实了 $s > d/4$ 是实现 $n^{-1/2}$ 收敛速率的必要条件。我们通过大量模拟验证了我们的理论保证。