非负低秩矩阵恢复可能存在虚假局部极小值

众所周知，低秩矩阵恢复在受限等距性质（RIP）下表现出良性非凸性：每个二阶临界点都是全局最优的，因此局部方法可证明地恢复真实值。受投影梯度法在非负低秩恢复问题中强大实证性能的启发，我们研究了当因子矩阵被约束为逐元素非负时，这种良性几何结构是否仍然存在。在秩为1的非负真实值的简单设定中，我们证实，在RIP常数$\delta=0$的全观测情况下，良性非凸性成立。然而，这种良性非凸性是不稳定的。它无法扩展到具有任意小RIP常数$\delta>0$的部分观测情况，也无法扩展到更高秩的真实值$r^{\star}>1$的情况，无论搜索秩$r\ge r^{\star}$如何过参数化。这些结果共同削弱了基于稳定性的标准解释，该解释用于说明非凸方法的经验成功，并表明需要根本不同的工具来分析非负低秩恢复。