共轭映射上图的新表示及向量优化问题的Lagrange、Fenchel-Lagrange对偶

本文关注如下模型向量问题：\begin{align*} ({\rm VP})\quad\qquad &\rm{WInf} \{F(x): x\in C,\; G(x)\in -S\}. \end{align*} 其中$X, Y, Z$为局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$F\colon X\rightarrow Y\cup\{+∞_{Y}\}$与$G\colon X\rightarrow Z\cup\{+∞_{Z}\}$为正常映射，$C$是$X$的非空凸子集，$S$是$Z$中非空闭凸锥。在各种定性条件下，建立了与(VP)相关的复合共轭映射上图的若干新表示。这些表示的意义有两方面：首先，它们在建立新型向量Farkas引理中起关键作用，后者可作为向量优化问题研究的工具；其次，它们为定义(VP)的Lagrange对偶问题及两类新型Fenchel-Lagrange对偶问题铺平道路。借助从上述表示新获得的Farkas型结果，建立了(VP)上述三类对偶问题的强对偶与稳定强对偶结果。研究表明，在$Y = \mathbb{R}$的特殊情形下，(VP)的Lagrange与Fenchel-Lagrange对偶问题分别回归为标量问题的Lagrange对偶问题与Fenchel-Lagrange对偶问题，所得对偶结果涵盖并在某些情形下推广了文献中标量问题的相应结果。