Simonyi猜想的新上界

我们称一对 $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ 为一个恢复对(recovering pair)，如果 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是一个 $n$ 元基集上的集合系统，使得对于任意 $A,A' \in \mathcal{A}$ 和 $B,B' \in \mathcal{B}$，我们有（$A \setminus B = A' \setminus B'$ 蕴含 $A=A'$）且对称地（$B \setminus A = B' \setminus A'$ 蕴含 $B=B'$）。G. Simonyi 猜想如果 $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ 是一个恢复对，则 $|\mathcal{A}||\mathcal{B}|\leq 2^n$。对于量 $|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$，已知最好的上界是由 Körner 和 Holzman 给出的 $2.3264^n$。在本文中我们将该上界改进到 $2.284^n$。我们的证明是组合性的。