鸟群问题的新界

在本文中，我们延续了关于为 Presburger 可定义谓词获取简洁群体协议的一系列工作。更具体地，我们关注阈值谓词。这些谓词形如 $n\ge d$，其中 $n$ 为自由变量而 $d$ 为常数。对每个 $d$，我们为该谓词建立了一个 1-感知群体协议，具有 $\log_2 d + \min\{e, z\} + O(1)$ 个状态，其中 $e$（相应于 $z$）是 $d$（相应于 $d - 1$）的二进制表示中 $1$（相应于 $0$）的个数。这改进了 Blondin 等人给出的上界 $4\log_2 d + O(1)$。我们还证明，我们问题的任何 1-感知协议必须至少具有 $\log_2(d)$ 个状态。这改进了 Blondin 等人给出的下界 $\log_3 d$。