面向几何通用的大规模PDE求解的神经-施瓦茨平铺方法

大多数学习型PDE求解器遵循全局代理范式：训练一个神经算子，将完整的问题描述映射到针对给定几何、边界条件和系数分布的全解场。这实现了在固定问题族内的快速推理，但限制了在新领域中的复用，并使大规模部署依赖于昂贵的特定问题数据生成。我们提出 $\textbf{NEST}$（$\textbf{Ne}$ural-$\textbf{S}$chwarz $\textbf{T}$iling，神经-施瓦茨平铺），一种局部到全局的框架，将学习从全域解算子转移到可复用的局部物理求解器。核心前提是，尽管全局PDE解依赖于几何、尺度和边界条件，但小邻域内的物理响应可以局部学习，并通过经典区域分解组合成全局解。NEST在具有多样化局部几何和边界/界面数据的最小体素块（$3 \times 3 \times 3$）上学习神经算子。在推理时，将未见过的体素化域平铺成重叠块，逐块应用学习到的局部求解器，并通过迭代施瓦茨耦合与单位分割组装来强制执行全局一致性。通过这种方式，泛化从单一神经模型转移到局部物理学习与算法全局组装的组合。我们在可压缩neo-Hookean固体的非线性静态平衡问题上实例化NEST，并在远超出训练块尺度的大规模、几何复杂的三维域上进行评估。结果表明，通过施瓦茨迭代耦合的局部神经构建块，提供了一条可复用的局部训练路径，通向可扩展的学习型PDE求解器，这些求解器能够跨域大小、形状和边界条件配置进行泛化。