神经预条件化 Born 系列：面向学习型预条件器的度量匹配框架

高频 Helmholtz 问题在异构介质中对传统迭代方法和端到端神经 PDE 求解器都具有挑战。我们提出神经预条件化 Born 系列 (NPBS)，这是一种在由收敛 Born 系列 (CBS) 激活的预条件化残差坐标中运行的学习型迭代预条件框架。现有学习型 Born 系列方法主要使用 Born 风格的展开进行前向波场预测，而学习型 Helmholtz 预条件器通常以物理残差坐标中形式化。NPBS 通过将 Born 系列迭代重新表述为左预条件化的移位 Laplacian，取代 CBS 预条件器，引入在 Born 预条件化坐标中的学习型残差到校正映射。左预条件器进一步诱导残差度量，yield 一个度量匹配的训练目标，将优化与推理时使用的预条件化几何对齐。在异构 Helmholtz 测试基准上，度量匹配的 NPBS 相对于直接残差学习在迭代次数上降低最高可达 $1.9\times$，随着波数升高，提升从 $1.2\times$ 增至 $1.9\times$。与经典 CBS 方法相比，学习型 NPBS 在 stationary 迭代次数上降低超过 $20\times$；当用作 FGMRES 的预条件器时，进一步实现所有评估方法中最低的 wall-clock time。相同的度量匹配表述也提高了对对流-扩散-反应系统和非线性 PDE 的 Newton 线性系统的收敛性，表明残差度量匹配是神经预条件器的通用设计原则。