有限维空间中的 $n$-超循环与强 $n$-超循环算子

我们证明了在 $\mathbb{R}^n$ 上，不存在满足 $1\leq N< \lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$ 的 $N$-超循环算子，即如果 $\mathbb{R}^n$ 存在一个 $N$ 维子空间，其在 $T$ 作用下的轨道在 $\mathbb{R}^n$ 中稠密，则 $N$ 必须大于 $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$。此外，该值是最优的。随后我们考虑强 $N$-超循环算子的情形。若 $\mathbb{R}^n$ 存在一个 $N$ 维子空间，其在 $T$ 作用下的轨道在第 $N$ 个 Grassmann 流形 $\mathbb{P}_N(\mathbb{R}^n)$ 中稠密，则称算子 $T$ 为强 $N$-超循环的。我们证明了强 $N$-超循环性在有限维空间中不会非平凡地发生。