格点数据的多元趋势滤波

我们研究了趋势滤波的多元版本，称为 Kronecker 趋势滤波或 KTF，适用于设计点在 $d$ 维中构成格点的情况。KTF 是单变量趋势滤波（Steidl 等，2006；Kim 等，2009；Tibshirani，2014）的自然推广，通过最小化一个惩罚最小二乘问题来定义，其惩罚项对沿每个坐标方向待估参数的绝对（高阶）差分求和。相应的惩罚算子可写为单变量趋势滤波惩罚算子的 Kronecker 积，故得名 Kronecker 趋势滤波。等价地，可将 KTF 视为 $\ell_1$ 惩罚基回归问题，其中基函数为下落阶乘函数的张量积，即支撑单变量趋势滤波的分段多项式（离散样条）基。本文是对 Sadhanala 等（2016, 2017）结果的统一与扩展。我们发展了一套完整理论结果，描述了 $d$ 维中 $k^{\mathrm{th}}$ 阶 Kronecker 趋势滤波在每 $k \geq 0$ 和 $d \geq 1$ 下的行为。这揭示了一些有趣现象，包括 KTF 在估计异质平滑函数上优于线性平滑器，以及在 $d=2(k+1)$ 处的相变——在此边界之外（高维数-平滑度侧）线性平滑器完全无法保持一致。我们还利用了 Tibshirani（2020）关于离散样条的最新结果，特别是离散样条插值结果，使我们能以常数时间（独立于格点大小 $n$）将 KTF 估计扩展到任意非格点位置。