基于加权最小二乘方法的不规则域上函数多元逼近

我们提出并分析了基于加权最小二乘的数值算法，用于逼近一般有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 上的实值函数。给定任意 $n$ 维逼近空间 $V_n \subset L^2(\Omega)$，文献[6]中的分析表明存在稳定且最优收敛的加权最小二乘估计量，使用的函数求值次数 $m$ 为 $n \log n$ 量级。当 $V_n$ 的 $L^2(\Omega)$-标准正交基以解析形式可得时，可使用文献[6,第5节]中描述的算法构造此类估计量。若该基还具有乘积形式，则这些算法的计算复杂度在 $d$ 和 $m$ 上均为线性。本文中我们证明，当 $\Omega$ 为不规则域以至于 $L^2(\Omega)$-标准正交基的解析形式不可得时，仍可从 $V_n$ 构造稳定且准最优的加权最小二乘估计量，同样取 $m$ 为 $n \log n$ 量级，但使用 $V_n$ 的某种离散意义下标准正交的替代基。计算该替代基的代价取决于 $\Omega$ 与 $V_n$ 的 Christoffel 函数。文中给出了验证我们分析的数值结果。