论最小二乘逼近的稳定性与精度

我们考虑如下问题：根据给定测度 $\rho_X$，从 $f$ 在 $n$ 个随机选取点处的样本重构定义在区域 $X$ 上的未知函数 $f$。给定线性空间序列 $(V_m)_{m>0}$ 且 ${\rm dim}(V_m)=m\leq n$，我们研究来自空间 $V_m$ 的最小二乘逼近。众所周知，当 $m$ 过于接近 $n$ 时，即使样本无噪声，此类逼近也可能不准确。我们的主要结果提供了关于 $m$ 的一个准则，描述了为确保最小二乘方法稳定及其在 $L^2(X,\rho_X)$ 中测量的精度可与 $f$ 由 $V_m$ 中元素逼近的最佳逼近误差相当所需的正则化量。我们以各种逼近格式对该准则进行了说明，例如 $\rho_X$ 为均匀测度的三角多项式，以及 $\rho_X$ 为均匀测度或 Chebyshev 测度的代数多项式。对于这些例子，我们还利用相对于这些测度等距分布的确定性样本证明了类似的稳定性结果。