基于 Vandermonde 与 Arnoldi 的不规则域上多元函数逼近的收敛性与近最优采样

Vandermonde 矩阵通常呈指数级病态,并常导致不稳定的逼近。在本文中,我们引入并分析了\textit{多元 Vandermonde with Arnoldi (V+A) 方法},该方法基于最小二乘逼近与 Stieltjes 正交化过程,用于在 $d$ 维不规则域上逼近连续多元函数。V+A 方法通过关于离散测度构造一组离散正交基,解决了 Vandermonde 逼近的病态问题。V+A 方法简单且通用,仅依赖于域的样本点。本文分析了{使用 V+A 方法的最小二乘逼近}的采样复杂度。我们证明,对一大类域,该逼近使用 $M=O(N^2)$ 个等距样本点或 $M=O(N^2\log N)$ 个随机样本点(与 $d$ 无关)给出了良态且近最优的 $N$ 维最小二乘逼近。我们给出了使用 V+A 方法的最小二乘逼近的误差估计与收敛速率的全面分析。基于多元 V+A 技术,我们提出了一种加权 V+A 最小二乘算法的新变体,仅使用 $M=O(N\log N)$ 个样本点即可实现近最优逼近。{我们的初步数值结果验证了 V+A 最小二乘逼近方法为(不规则)域上的多元函数提供了良态且近最优的逼近。此外,使用 V+A 方法的(加权)最小二乘逼近与最先进的正交化技术相比具有竞争力,并可作为在不规则域上选择近最优样本点分布的实用工具。}