多维项链与 $\mathbb{R}^n$ 的可测着色

Longueville 和 Zivaljevic 对 Alon 的“分割项链定理”给出了一个著名的推广，指出每个 $k$-着色的 $n$ 维立方体可以通过在每个维度上仅进行 $k$ 次切割而被公平分割。在此我们证明，对于每个 $t$，存在 $\mathbb{R}^n$ 的有限着色（具有至少 $(t+4)^d - (t+3)^d + (t+2)^d - 2^d + d(t+2) +3$ 种不同颜色），使得没有任何 $n$ 维立方体可以通过在每个维度上至多进行 $t$ 次切割而被公平分割。特别地，存在 $\mathbb{R}^n$ 的有限着色，使得没有任何两个不相交的 $n$ 维立方体具有相同的每种颜色的测度。