多维分治与加权数字和

本文研究了在算法分析中分别出现的三类函数，我们使用类似的Mellin变换技术精确分析了它们。第一类是解决$d$维空间中点问题时出现的多维分治(MDC)递推的解。第二类涉及加权数字和。将$n$写为二进制表示$n=(b_i b_{i-1}... b_1 b_0)_2$，并设$S_M(n) = \sum_{t=0}^i t^{\bar{M}} b_t 2^t$。我们分析了平均值$TS_M(n) = \frac{1}{n}\sum_{j<n} S_M(j)$。第三类是加权数字和的一个不同变体。将$n$写为$n=2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k}$，其中$i_1 > i_2 > ... > i_k\geq 0$，并设$W_M(n) = \sum_{t=1}^k t^M 2^{i_t}$。我们分析了平均值$TW_M(n) = \frac{1}{n}\sum_{j<n} W_M(j)$。我们证明了MDC函数和$TS_M(n)$（其中$d=M+1$）的解都具有形式$\lambda_d n \lg^{d-1}n + \sum_{m=0}^{d-2}(n\lg^m n)A_{d,m}(\lg n) + c_d$，其中$\lambda_d,c_d$是常数，$A_{d,m}(u)$是周期为1的周期函数（由绝对收敛的傅里叶级数给出）。我们还证明了$TW_M(n)$的解具有形式$n G_M(\lg n) + d_M \lg^M n + \sum_{d=0}^{M-1}(\lg^d n)G_{M,d}(\lg n)$，其中$d_M$是常数，$G_M(u)$和$G_{M,d}(u)$同样是周期为1的周期函数（由绝对收敛的傅里叶级数给出）。