分段常数全纯函数的多中心表示与 Hermite 插值

在分段全纯函数的多中心表示中，可将多项式 $p$ 的根处的拉格朗日插值与 $p$ 的收敛幂级数（作为乘以拉格朗日基函数的“系数”）相结合。当这些幂级数被截断时，可得到 Hermite 插值多项式。本文首先回顾了获得具有分段常数全纯函数的多中心表示的不同方法，重点关注其实现。当多项式的次数为 $d$ 且所有幂级数均在第 $n$ 次幂处截断时，我们形式上得到次数为 $d(n+1)-1$ 的 Hermite 插值多项式。表示 Hermite 插值的自然方法是为每条插值条件提供一个基函数，从而得到 $d(n+1)$ 个基函数。我们随后考虑了在不同方式表示和求值 Hermite 插值时数值误差的积累。在由于幂级数的收敛性，数值误差随 $n$ 的增大而保持有界。在假设分段常数全纯函数在一个分量中取值1、在其他分量中消失，以使得 Hermite 插值仅与一个基函数一致的情形下，即便如此，截断的多中心表示仍具有优势。在一般情况下，可取所有 $d(n+1)$ 个基函数的线性组合。