组播网络编码与域大小

在无环组播网络中，众所周知，当 $q$ 足够大时，存在 GF($q$) 上的线性网络编码解。特别地，对于每个不小于接收者数目的素数幂 $q$，可以高效地构造 GF($q$) 上的线性解。在本工作中，我们揭示了在给定有限域上存在线性解并不必然意味着在所有更大的有限域上都存在线性解。具体而言，我们通过构造证明：(i) 对于每个不小于 3 的源维度，存在一个组播网络在 GF(7) 上线性可解但在 GF(8) 上不可解，且存在另一个组播网络在 GF(16) 上线性可解但在 GF(17) 上不可解；(ii) 存在一个组播网络在 GF(5) 上线性可解，但在满足 $q > 5$ 且 $q$ 为梅森素数加 1 的 GF($q$) 上不可解，而这样的 $q$ 可以极大；(iii) 一个在 GF($q^{m_1}$) 和 GF($q^{m_2}$) 上线性可解的组播网络，并不必然在 GF($q^{m_1+m_2}$) 上线性可解；(iv) 存在一类组播网络，其接收者集合 $T$ 使得 GF($q_{min}$) 上线性解的最小域大小 $q_{min}$ 下界为 $\Theta(\sqrt{|T|})$，但并非每一个比 GF($q_{min}$) 更大的域都足以产生线性解。本工作带来的洞见是，不仅域大小，有限域乘法群中子群的阶也影响组播网络的线性可解性。