MSINO：基于曲率感知的流形神经网络仪射索伯瓦优化
机器学习
2026-02-27 v1
摘要
我们提出了一种称为 Manifold Sobolev Informed Neural Optimization (MSINO) 的曲率感知训练框架，用于定义在黎曼流形上的神经网络。该方法将标准的欧几里得导数监督替换为基于平行运输对齐梯度的协变仪射索伯瓦损失，并通过拉普拉斯-贝尔特拉米光滑正则化项提升稳定性。基于黎曼优化和流形上仪射索伯瓦理论，我们推导出几何相关常数，得到（i）具有流形仪射索伯瓦光滑常数的下降引理、（ii）给出线性收敛保证的仪射索伯瓦-波亚奇贝瓦不等式（Sobolev Polyak Lojasiewicz inequality），并明确给出随机梯度下降的步长界限，以及（iii）具有局部二次收敛的牛顿仪射索伯瓦方法。与欧几里得空间中先前的仪射索伯瓦训练相比，MSINO 能显式跟踪曲率和平行运输雅可比矩阵。应用场景包括表面成像、物理信息学习以及李群（如 SO(3) 和 SE(3)）上的机器人问题。该框架统一了基于值和梯度的学习方法，为流形上的神经网络训练提供曲率感知的收敛保证。
引用
@article{arxiv.2602.22937,
title = {MSINO: Curvature-Aware Sobolev Optimization for Manifold Neural Networks},
author = {Suresan Pareth},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.22937},
year = {2026}
}
备注
32 pages, 6 figures. Submitted for journal consideration