用于量子退火的极难 KSAT 实例的蒙特卡罗搜索

利用统计物理学中强大的多正则系综蒙特卡罗方法，我们探索了随机 K 可满足性 (KSAT) 的实例空间，以寻找计算困难问题，极可能是“最难问题”。我们在子句数与自旋数之比 $\alpha=M/N$ 尽可能小的情况下，搜索具有唯一满足赋值 (USA) 的实例。随着自旋数 $N$ 的增加，在从上方趋近 $\alpha=1$ 的 $\alpha$ 值处找到了 USA 实例。我们考虑 $2 \le N \le 18$ 的小自旋数。系综平均表现出非常特殊的性质。我们发现能量为 1 的第一激发态的态密度 $\Omega_1=g(E=1)$ 与 $N$ 的指数发散一致：$\Omega_1 \propto {\rm exp} [+rN]$。数值确定了在 $\alpha=1$ 处具有 USA 实例的 KSAT 在 $K=2,3,4,5$ 和 $K=6$ 时的速率常数，其区间为 $K=2$ 时的 $r=0.348$ 到 $K=6$ 时的 $r=0.680$。这些值随着 $K$ 的增加趋近无结构搜索值 ${\rm ln}2$。我们的困难问题系综有望为使用具有一般伊辛模型形式的哈密顿量进行量子搜索研究提供一个测试平台。