松弛作用的单子为斜幺半对象

Szlachányi 证明了双代数胚可用斜幺半范畴来刻画。该刻画减少了定义它们所需的数据、结构和性质的数量。Lack 和 Street 对同一事实给出了双范畴层面的描述；他们用幺半双范畴内部的斜幺半结构刻画了量子范畴。量子范畴是幺半双范畴中包络幺半对象 $R^\circ\otimes R$ 上的反幺半单子。在先前的论文中，我们将包络幺半对象上的反幺半箭头刻画为一种称为松弛作用的更简单结构。本文是作者博士论文基础上的第二篇论文。受反幺单子是幺半对象、反幺半箭头和反幺半胞腔构成的双范畴中的单子这一事实启发，我们证明了右斜幺半对象即为“松弛作用的单子”。为此，我们将松弛作用安排为 $\mathsf{Cat}$ 中单纯对象的 1-单形。在理想情形下，该单纯对象可被视为箭头为松弛作用的双范畴，即弱等价于某双范畴的神经。我们将松弛作用的单子定义为从 Catalan 单纯集出发的单纯映射，并证明它们与单位元具有右伴随的右斜幺半对象双射对应，且对环境幺半双范畴不作任何假设。