图的随机子树模型

考虑一个具有 $N=|V|$ 个顶点的连通图 $G=(E,V)$。本文的主要目的是探讨对于某个 $n\leq N$,从 $G$ 中均匀采样含 $n$ 个节点的子树的问题(生成树情形对应 $n=N$,已在文献中被深入研究)。我们针对一般连通图 $G$ 及任意 $n\leq N$,给出了基于马尔可夫链的新的渐近精确模拟方法。我们重点研究了含原点 $(0,0)$ 的 $\mathbb{Z}^2$ 中 $n$ 个节点的均匀子树,Schramm 曾就之提出若干问题。我们给出了图像、统计量与若干猜想。本文的第二项目标是综述图的其他随机子树模型,其中包括 DLA 模型、首通渗流、均匀生成树与最小生成树。我们也给出了若干新模型、一些统计量及一些猜想。