缺失 $g$-质量：探究分布的缺失部分

从独立同分布样本估计底层分布是统计学中一个经典且重要的问题。当字母表大小相对于样本数较大时，分布的一部分极可能未被观测到或仅被稀疏观测到。缺失质量定义为对所有缺失字母 $x$ 的概率 $\text{Pr}(x)$ 求和，其 Good-Turing 估计量一直是大规模字母表分布估计中的重要工具。本文中，给定从 $[0,1]$ 到实数的正函数 $g$，引入并研究了缺失 $g$-质量，其定义为对所有缺失字母 $x$ 的 $g(\text{Pr}(x))$ 求和。缺失 $g$-质量可用于探究分布缺失部分的结构。针对特殊情形的具体应用，如阶-$\alpha$ 缺失质量（$g(p)=p^{\alpha}$）与缺失香农熵（$g(p)=-p\log p$），包括估计缺失分布与均匀性的距离及其部分估计。对整数值 $\alpha$ 的阶-$\alpha$ 缺失质量研究了极小极大估计，并得到了精确的极小极大收敛速率。对一类函数 $g$ 研究了集中性，并对阶-$\alpha$ 缺失质量与缺失香农熵推导了具体结果。推导了具有近最优最坏情况方差因子的亚高斯尾界。引入了两个新的集中性概念，称为强亚伽马集中与滤波亚高斯集中，并证明它们可得到优于亚高斯集中所得右尾界的结果。