求解一类单调变分不等式的镜像近端滑动方法

在本文中，我们提出了新算法，用于求解紧可行集上的一类结构单调变分不等式（VI）问题。通过识别VI算子中存在的梯度分量，我们证明可以不时跳过梯度的计算，同时仍然保持求解这些VI问题的最优迭代复杂度。具体地，对于涉及光滑凸函数梯度$\nabla G$与单调算子$H$之和的确定性VI问题，我们提出了一种新算法，称为镜像近端滑动方法，该方法能够以最多$O((L/\varepsilon)^{1/2})$次$\nabla G$评估和$O((L/\varepsilon)^{1/2}+M/\varepsilon)$次$H$评估计算出一个$\varepsilon$-近似弱解，其中$L$和$M$分别是$\nabla G$和$H$的Lipschitz常数。此外，对于算子$H$只能通过其随机估计器访问的情况，我们提出了一种随机镜像近端滑动方法，该方法能够以最多$O((L/\varepsilon)^{1/2})$次$\nabla G$评估和$O((L/\varepsilon)^{1/2}+M/\varepsilon + \sigma^2/\varepsilon^2)$个$H$样本计算出一个随机$\varepsilon$-近似弱解，其中$\sigma$是$H$随机样本的方差。