仿射控制系综的极小极大问题

在本文中，我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中的仿射控制系综，并研究与最坏情况最小化相关的同时最优控制问题。在证明此类问题存在解之后，记 $(\Theta^N)_N$ 为参数化系统系综的紧集序列，我们首先证明，当 $(\Theta^N)_N$ 关于 Hausdorff 距离存在极限时，相应的极小极大最优控制问题是 $\Gamma$-收敛的。除了其自身的独立价值外，上述结果在建立由包含无穷多个点的集合 $\Theta$ 参数化的系综的 Pontryagin 最大值原理 (PMP) 时起着关键作用。即，我们首先用已知 PMP 成立的有限且尺寸递增的集合 $(\Theta^N)_N$ 逼近 $\Theta$，然后推导 $\Gamma$-极限问题的 PMP。同样的策略也可应用于实际问题中，我们可以将无穷系综简化为有限系综以数值计算极小值点。我们以具有不确定共振频率的量子比特的 Schrödinger 方程作为数值示例。