高阶微分约束下的庞特里亚金极大值原理

利用我们此前关于高阶受控拉格朗日量在[Nonlinear Anal. {\bf 207} (2021), 112263]中的结果，本文推导了经典一阶庞特里亚金极大值原理(PMP)在如下高阶微分约束下代价最小化问题的类比：$\frac{d^k x^j}{dt^k} = f^j\big(t, x(t), \frac{d x}{dt}(t), \ldots, \frac{d^{k-1} x}{dt^{k-1}}(t), u(t)\big)$, $t \in [0,T]$, 其中$u(t)$为紧集$K \subset \mathbb R^m$中的控制曲线。该结果及其证明可视为前述论文某一论断的详细阐释，即该论文结果最初在光滑微分几何框架下建立，可直接导出在更弱且更常见假设下成立的性质。此外，为进一步阐明我们的动机，在最后一节我们给出了若干快速指示，说明本文的两步法（即初步易于得到的微分几何讨论，随后细化分析以弱化正则性假设）如何也可有效应用于由偏微分方程控制的问题或受控机械系统动力学研究中。