含噪离散化函数数据的主成分极小极大估计：光滑过程的情形

我们研究了当 $n$ 条轨迹在 $p$ 个公共网格点处被观测且带有加性噪声时，函数主成分分析中协方差特征函数与特征值的极小极大估计。我们考虑具有任意 H"older 光滑性且无预设特征值参数衰减的协方差核。在此设置下，核光滑性与局部谱分离扮演不同角色：仅在光滑性类别上的极小极大不一致性结果表明，仅凭核正则性不足以实现特征函数估计的极小极大一致性。为了捕捉这种相互作用，我们引入了一类过程，联合控制协方差核的 H"older 光滑性以及目标索引 $\ell$ 处的局部相对逆特征间隙量。在该类上，我们导出了特征函数估计的非渐近极小极大下界，将抽样变异性、离散化与谱效应解耦，揭示了阶为 $\delta_\ell n^{-1}+p^{-2\alpha}$ 的收敛速率，其中 $\delta_\ell$ 量化了谱难度。我们还在相对平方误差损失下获得了特征值估计的非渐近下界。随后，我们构造了一个基于 Coiflet 尺度函数和旨在适应任意 H"older 光滑性的求积方案的可计算小波投影估计量。对于特征函数估计，对于任意 H"older 指数 $\alpha>0$，该估计量在自然谱因子范围内匹配了极小极大估计对样本量和网格分辨率的依赖关系。最后，我们证明了所提框架涵盖了几种经典的高斯过程和 Karhunen--Lo\`eve 构造。特别地，一个基于 Karhunen--Lo\`eve 的准则将谱衰减、特征函数正则性与协方差核光滑性联系起来，并产生了受控的模拟设置，用以说明预测的相变和最不利离散化效应。