极小缩放与可缩放框架的结构性质

对于 $\R^n$ 中的单位范数框架 $F = \{f_i\}_{i=1}^k$，缩放是一个向量 $c=(c(1),\dots,c(k))\in \R_{\geq 0}^k$，使得 $\{\sqrt{c(i)}f_i\}_{i =1}^k$ 是 $\R^n$ 中的 Parseval 框架。如果这样的缩放存在，则称 $F$ 是可缩放的。如果 $\{f_i : c(i)>0\}$ 不包含真可缩放子框架，则缩放 $c$ 是极小缩放。已知 $F$ 的所有缩放的集合是一个凸多面体，其顶点对应于极小缩放。在本文中，我们给出了可缩放框架极小缩放数量的估计，并刻画了极小缩放何时仿射相关。利用这一刻画，我们可以得出 $F$ 的所有严格缩放 $c=(c(1),\dots,c(k))\in \R_{> 0}^k$ 具有相同的结构性质。我们还提出了任意极小缩放集合的正交分割性质的唯一性，这提供了给定缩放框架的所有可能紧子框架。