交错群的极小生成系统与 Sylow 2-子群的性质

本文的研究背景如下：寻找此类群中尚未找到的极小生成系统以及此类群的表示问题，探索交错群的 Sylow 2-子群 $Syl_2{A_{2^k}}$ 和 $Syl_2{A_{n}}$ 的生成系统，并确定这些子群的结构。本文旨在研究 Sylow 2-子群的结构并为这类子群构造极小生成系统。换言之，问题不仅在于证明度为 $2^k$ 的交错群的 Sylow 2-子群存在包含元素的生成集，还在于其构造性证明及其极小性证明。为了构造极小生成集，我们利用了通过二叉树的画像自同构给出的群元素表示。主要结果是证明了上述子群该生成集的极小性，并描述了它们的结构。关键词：极小生成系统，圈积，Sylow 子群，群，半直积。