平衡态下晶格费米子的微观电导率——第一部分：无相互作用粒子

我们考虑受静态有界势和时空依赖电场作用的自由晶格费米子。对于空间中的任意有界凸区域 $\mathcal{R}\subset \mathbb{R}^{d}$ ($d\geq 1$)，$\mathcal{R}$ 内的电场 $\mathcal{E}$ 驱动电流。在主导阶上，关于 $\mathcal{R}$ 的体积 $\left| \mathcal{R}\right|$ 和静态势的特定选择一致地，电流对 $\mathcal{E}$ 的依赖是线性的，并由一个电导率分布描述。由于产热的正性，其傅里叶变换的实部是一个正测度，这里称为 $\mathcal{R}$ 的（微观）电导率测度，与傅里叶空间中的欧姆定律一致。这个有限测度是电流涨落的时间关联函数的傅里叶变换，即电导率分布满足 Green-Kubo 关系。我们还证明，该测度也可被视为所谓量子电流粘滞性的 Laplace-Fourier 变换的边界值。电导率分布的实部和虚部满足 Kramers-Kronig 关系。在主导阶上，关于参数一致地，产热是电场在存在电流时对系统所做的经典功。电导率测度关于系统参数一致有界，且它绝不是平凡测度 $0\,\mathrm{d}\nu$。因此，电场通常在此类系统中产生热量。事实上，电导率测度在 Schwartz 函数空间中定义了一个二次型，其 Legendre-Fenchel 变换描述了系统的电阻率。这导致了焦耳定律，即电流产生的热量与电阻率和电流的平方成正比。