面向几何深度学习的度量感知主成分分析
机器学习
2026-05-28 v1
摘要
几何深度学习将神经网络架构围绕数据域的对称性进行组织，选择对称群作为几何先验，从而决定可学习的表示。度量感知主成分分析（MAPCA）通过正定度量矩阵对主成分分析进行参数化，其中一个标准子家族在标准PCA与输出白化之间插值，另一点则恢复为不变主成分分析（IPCA）。本文将MAPCA置于几何深度学习框架中。该度量被视为几何先验，其保存该度量的正交群为其诱导的对称群，MAPCA解在该群下具有等价性且其谱保持不变；MAPCA的定义约束为等价网络中所用 Schur型权重约束的线性类比。本文沿着六个维度——域、对称群、等价性、不变性、架构原语和几何先验——构建了MAPCA与几何深度学习之间的精确词典。技术锚点为唯一性定理，表明IPCA是MAPCA家族中唯一在任意正交尺度变换下等价且投影于其作用固定点集的线性数据派生度量，等价于其正规化后的方差最大化准则。本文以三座桥梁收尾：核PCA作为非线性延伸、谱图方法作为MAPCA在图上的实现，以及深层MAPCA构建将定位扩展至深层等价网络。
引用
@article{arxiv.2605.27456,
title = {Metric-Aware PCA as a Linear Instance of Geometric Deep Learning},
author = {Michael Leznik},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.27456},
year = {2026}
}