度量感知主成分分析（MAPCA）：面向尺度不变表示学习的统一框架

我们提出度量感知主成分分析（MAPCA），这是一种基于广义特征问题 max Tr(W^T Sigma W) 受制于 W^T M W = I 的尺度不变表示学习统一框架，其中 M 为对称正定度量矩阵。不同选择 M 决定了表示的几何结构。标准的 beta-family M(beta) = Sigma^beta（$\beta \in [0,1]$）在标准主成分分析（$\beta=0$）与输出白化（$\beta=1$）之间提供连续的谱偏差控制，其条件数 $\kappa(\beta) = (\lambda_1/\lambda_p)^{1-\beta}$ 随$\beta$单调递减至各向同性。对角度量 M = D = diag(Sigma) 可恢复源于 Frisch（1928）对角回归的不变主成分分析（IPCA），作为更广框架的独立成员。我们证明尺度不变性当且仅当度量在缩放 C 下变为 M_tilde = CMC 才成立，IPCA 正好满足此条件而一般 beta-family 在中间值处不满足。除了经典解释外，MAPCA 提供了统一几何语言，整合若干自监督学习目标。Barlow Twins 与 ZCA 白化对应 $\beta=1$（输出白化）；VICReg 的方差项对应对角度量。关键发现是 W-MSE 虽被描述为基于白化的方法，实则对应 M = Sigma^{-1}（$\beta = -1$），完全超出谱压缩范围且与 Barlow Twins 在谱方向上相反。这一输入与输出白化的区别在损失函数层面难以察觉，唯有在 MAPCA 框架下才能精确刻画。