II 类超导体的迈斯纳态

本文研究占据 $\Bbb R^3$ 中有界区域 $\Omega$ 且受低于临界场 $H_{S}$ 的外加磁场作用的 $I\!I$ 类块体超导体的迈斯纳态的数学理论。迈斯纳态由称为迈斯纳系统的非线性偏微分方程组的解 $(f,\mathbf A)$ 描述,其中 $f$ 是 $\Omega$ 上的正函数,等于序参量的模,而 $\mathbf A$ 是定义在全空间上的磁势,使得其在区域边界 $\partial\Omega$ 上法向分量的内迹为零。这样的解称为迈斯纳解。我们考察了迈斯纳解的多种性质,包括正则性、分类以及 Ginzburg-Landau 参数 $\kappa$ 取大值时的渐近行为。结果表明迈斯纳解在 $\Omega$ 内是光滑的,但 $\Omega$ 外磁势的正则性可能相当差。这一观察引出了将迈斯纳系统分解为两个问题的思想: $\Omega$ 内的边值问题和 $\Omega$ 外的外部问题。我们证明,具有固定边界数据的边值问题的解在 $\kappa\to\infty$ 时在 $\Omega$ 上一致收敛,其中磁势的极限场是非线性旋度方程组的解。这表明,迈斯纳系统解 $(f,\mathbf A)$ 的磁势部分 $\mathbf A$ 在 $\partial\Omega$ 上具有相同的 $curl \mathbf A$ 切向分量,随着 $\kappa$ 增大到无穷而收敛于旋度方程组的解,从而验证了旋度方程组确实是三维情形下迈斯纳系统的正确极限。