信息几何中量子态密度的度量及其在量子多参数估计中的应用

近年来，从信息几何视角研究量子力学日益受到关注，其中量子态被描绘为射影希尔伯特空间中的一个点。将量子 Fisher 信息（QFI）作为射影希尔伯特空间的度规，估计微小参数偏移等价于沿给定曲线区分相邻量子态。因此，信息几何在单参数估计中发挥着重要作用。然而，高维度量的缺失限制了其在多参数系统研究中的应用。本文讨论 QFI 体积元的物理含义。它度量了射影希尔伯特空间中量子态的内禀密度（IDQS），从而可作为定义一类量子态的（过）完备关系的度量。作为一个应用，IDQS 可用于量子测量与多参数估计。我们发现，对于一组有效估计量，可区分态（DDS）的密度由经典 Fisher 信息的不变体积度量，经典 Fisher 信息是 QFI 的经典对应物，并作为统计流形的度规。相应地，我们提出量子 Cramér-Rao 不等式的行列式形式，以量化通过量子测量推断 IDQS 的能力。结果表明，我们发现 IDQS 与测量上最大 DDS 之间存在间隙。该间隙与不确定性关系紧密相连。以含两个参数的三能级系统为例，我们发现通过顶点测量（MvDDS）达到的最大 DDS 等于量子几何张量行列式的平方根。这表明 IDQS 与 MvDDS 之间的平方间隙正比于 Berry 曲率的平方。