MC^2：一种用于杠杆矩阵补全的两阶段算法

笼统地说，杠杆得分反映了矩阵各行和各列的重要性。理想情况下，给定秩为 $r$ 的矩阵 $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 的杠杆得分，若样本根据杠杆得分诱导的非均匀分布随机选取，则仅需 $O(rn\log^{2}n)$ 个样本即可可靠地补全该矩阵。然而在实践中，杠杆得分通常是未知的。因此，采用均匀随机抽样的均匀矩阵补全的样本复杂度增加至 $O(\eta(M)\cdot rn\log^{2}n)$，其中 $\eta(M)$ 是 $M$ 的最大杠杆得分。本文提出了一种名为 MC$^2$ 的两阶段矩阵补全算法：第一阶段基于均匀随机样本估计杠杆得分，第二阶段根据估计的杠杆得分对矩阵进行非均匀重采样并补全。对于良态矩阵，MC$^2$ 的总样本复杂度不劣于均匀矩阵补全；对于某些良态矩阵类别（即杠杆得分呈现温和衰减的合理相干矩阵），MC$^2$ 所需的样本数大幅减少。数值模拟表明，该算法在广泛的矩阵类别中优于均匀矩阵补全，特别是对条件数的敏感度远低于当前理论的要求。