Matiyasevich 公式的拟阵变体及其应用

1977 年，Yu. V. Matiyasevich 提出了一个公式，将任意图的色多项式表示为原图的子图流多项式的线性组合。在本文中，我们证明该表示是一个（易于验证的）公式的特例，即任意拟阵的特征多项式表示为对偶拟阵特征多项式的线性组合。作为应用，我们将具有 $n$ 个顶点的完全图的流多项式表示为关于正整数 $n$ 的所有分划的初等项之和。由于所有分划数量的增长率低于指数级，该技术允许我们计算 $n\approx 50$ 时的流多项式。我们还得到了有限域上射影几何的拟阵之对偶拟阵的特征多项式的显式表达式。特别地，我们证明了所有这些多项式的主要系数与 Pascal 三角形中某行的起始部分一致，该行的编号等于相应拟阵中的元素数量。在论文的最后部分，我们考虑了另一种方法，该方法利用 Tutte 多项式的性质和拟阵特征多项式系数的经典 Rota 公式，允许我们获得与主要定理应用相同的结果。此外，我们描述了 Matiyasevich 公式的拟阵变体与 Tutte 多项式卷积公式之间的联系。