局部差分隐私下优化问题中经典与量子机制的数学比较

设 $\varepsilon>0$。概率向量 $n$ 元组 $(p_i)_{i=1}^n$ 若对所有 $i,j=1,\ldots,n$ 满足 $e^\varepsilon p_j-p_i$ 无负分量，则称为 $\varepsilon$-差分隐私（$\varepsilon$-DP）。密度矩阵 $n$ 元组 $(\rho_i)_{i=1}^n$ 若对所有 $i,j=1,\ldots,n$ 满足 $e^\varepsilon\rho_j-\rho_i$ 为半正定，则称为经典-量子 $\varepsilon$-差分隐私（CQ $\varepsilon$-DP）。记 $\mathrm{C}_n(\varepsilon)$ 为所有 $\varepsilon$-DP $n$ 元组之集，$\mathrm{CQ}_n(\varepsilon)$ 为所有 CQ $\varepsilon$-DP $n$ 元组之集。通过考虑局部差分隐私下的优化问题，我们定义 $\mathrm{CQ}_n(\varepsilon)$ 中本质经典的子集 $\mathrm{EC}_n(\varepsilon)$。粗略地说，$\mathrm{EC}_n(\varepsilon)$ 中的元素是 $(p_i)_{i=1}^n\in\mathrm{C}_n(\varepsilon)$ 在完全正且保迹线性映射（CPTP 映射）下的像。在先前研究中已知 $\mathrm{EC}_2(\varepsilon)=\mathrm{CQ}_2(\varepsilon)$。本文中我们证明对每个 $n\ge3$ 有 $\mathrm{EC}_n(\varepsilon)\not=\mathrm{CQ}_n(\varepsilon)$，并以某种方式估计 $\mathrm{EC}_n(\varepsilon)$ 与 $\mathrm{CQ}_n(\varepsilon)$ 之间的差异。