马尔可夫核、距离与最优控制：线性二次非高斯分布引导的寓言

对于可控的线性时变（LTV）配对 $(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t)$ 和 $\boldsymbol{Q}_{t}$ 正半定矩阵，我们推导了It\^{o}扩散的马尔可夫核：${\mathrm{d}}\boldsymbol{x}_{t}=\boldsymbol{A}_{t}\boldsymbol{x}_t {\mathrm{d}} t + \sqrt{2}\boldsymbol{B}_{t}{\mathrm{d}}\boldsymbol{w}_{t}$，并附带以速率 $\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{Q}_{t}\boldsymbol{x}$ 的概率质量消亡。这一马尔可夫核是相关线性反应-输运-扩散偏微分方程的Green's函数。我们的结果推广了最近推导的核函数，针对特殊情况 $\left(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I}\right)$，并依赖于关联Riccati矩阵常微分方程的解。一个结果是线性二次非高斯Schr"{o}dinger桥恰好可解。这意味着，问题可以在给定的截止时间内，将受控LTV扩散从给定的非高斯分布引导到另一个分布，同时最小化预期二次费用，可以使用推导的核函数执行动态Sinkhorn递归来解决。我们的推导采用一种新方法，即依赖于寻找给定的确定性最优控制问题解的状态-时间相关距离类函数。这一技术超越了现有方法，如推广Hermite多项式或Weyl微积分，这些方法在反应-扩散情境中取得了有限的成功。我们的技术揭示了马尔可夫核、距离和最优控制之间的新联系。这种联系除了在解决线性二次Schr"{o}dinger桥问题之外，还具有广泛的兴趣。