以近最优开销维护单位圆盘并集的插入操作

我们提出高效的动态数据结构，用于维护平面中单位圆盘的并集以及伪线的下包络。更确切地说，本文给出三个主要结果：(i) 我们提出一种线性大小的数据结构，用于在插入操作下维护单位圆盘集合的并集。它可以在 $O((k+1) \log^2 n)$ 时间内插入一个圆盘并更新并集，其中 $n$ 为当前单位圆盘的数量，$k$ 为由于新圆盘插入导致的并集中结构变化的组合复杂度。它也能在同一时间界内计算每个圆盘插入后并集的面积。(ii) 我们提出一种线性大小的数据结构，用于维护 $x$-单调伪线集合的下包络。它可以在 $O(\log^2 n)$ 时间内处理伪线的插入/删除；对于查询点 $x_0\in\mathbb{R}$，它可在 $O(\log n)$ 时间内报告下包络上 $x$-坐标为 $x_0$ 的点；对于查询点 $q\in\mathbb{R}^2$，它可在 $O(\log n+k\log^2 n)$ 时间内返回位于 $q$ 下方的所有 $k$ 条伪线。(iii) 我们提出一种线性大小的数据结构，用于存储单位半径的圆弧集合（不一定在相应圆盘并集的边界上），使得对于查询单位圆盘 $D$，可在 $O(n^{1/2+\varepsilon} + k)$ 时间内报告所有与 $D$ 相交的输入圆弧，其中 $k$ 为输出大小，$\varepsilon > 0$ 为任意小常数。单位圆弧可在 $O(\log^2 n)$ 时间内插入或删除。