Macdonald 变形与 Vogel 普适性及链超多项式

Vogel 普适性意味着简单 Lie 代数 adjoint 部分的表示论可以用三个参数 $\alpha,\beta,\gamma$ 的齐次坐标来统一描述，这三个参数是 Vogel 平面的齐次坐标。实际上，这只在表示论的一个子部分上成立，即由 knot/Chern-Simons 理论所捕获的部分，其中一些不可约表示常常难以区分，并被合并为新的“普适不可约”实体（uirreps）。我们从这一角度出发，考察了最近发现的量子维数的 Macdonald 变形，其在 ADE 系列上存在某种普适性。我们的论点是，Macdonald 维数本身并非普适的，而是其与 Littlewood-Richardson 系数之积，这些系数本身是 Macdonald 理论中 $q$ 和 $t$ 的函数。这些乘积正是 knot/精细 Chern-Simons 理论中出现的数目。实际上，我们考虑 adjoint 平方的最简单分解，即分为六个 uirreps，并获得 Hopf 链以及更一般的 torus 链 $T[2,2n]$ 的超多项式的普适公式。