模空间上可展扭转环面的Veech 表面

设 $(M,\omega)$ 为一个平面曲面，其水平叶子全部为闭合曲线，或连接其 $\omega$ 的两个零点。则 $M$ 可分解为水平欧几里得圆柱的并。$(M,\omega)$ 的「扭转环面」记为 $\mathbb{T}(\omega)$，由将每个圆柱独立作用于horocycle 流得到的平面曲面组成。设 $g_t$ 为Teichmüller 测地流。我们研究当 $(M,\omega)$ 为「Veech 表面」时，展开扭转环面 $g_t\cdot \mathbb{T}(\omega)$ 在平面曲面的模空间上的分布。我们给出这些环面在 $t\rightarrow \infty$ 时变得稠密于 conjectured极限位点 $\mathcal{M} := \overline{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\cdot \mathbb{T}(\omega)}$ 的充分条件。我们也给出保证给定开集 $U\subset\mathcal{M}$ 相对于 $g_t\cdot \mathbb{T}(\omega)$ 上均匀测度的任意弱-$\ast$极限在 $t\rightarrow \infty$ 时所必需的质量下界的条件。特别是，在此类情况下，所有此类极限都必须在 $\mathcal{M}$ 中完全支撑。最后，我们举出无限族著名的Veech 表面的例子，满足上述结果中的每一条。我们结果与以往工作相比的关键特征在于，我们不需要传递到子列。