量子流的长时间半经典近似: Ehrenfest 时间的证明

设 ${\cal H}(x,\xi)$ 为 $R^{2n}$ 上二次增长的全纯 Hamilton 量, $b$ 为全纯指数局域化观测值, $H$、 $B$ 为 Weyl 量子化生成的 $L^2(R^n)$ 上相应算符,且 $U(t)=\exp{iHt/\hbar}$。证明了对 $t\in [0,T_N(\hbar)]$(其中 $T_N(\hbar)=-{2 ln\hbar\over {N-1}}$),Heisenberg 观测值 $B_t=U(t)BU(-t)$ 与其 ${N-1}$ 阶半经典近似之差的 $L^2$ 范数被 $K N^{(6n+1)N}(-\hbar ln\hbar)^N$ 所控制。选取合适的 $N(\hbar)$,误差被 $C\hbar^{ln|ln\hbar|}$ 控制,其中 $0\leq t\leq |ln\hbar|/ln|ln\hbar|$。(此处 $K,C$ 为独立于 $N,\hbar$ 的常数)。