渐近选址问题中的长期规划与短期规划比较

给定区域 $\Omega\subset \R^n$ 上的概率测度 $\nu$，我们考虑由 $n$ 个点组成的集合 $\Sigma$ 在 $\Om$ 中的最优选址，以最小化平均距离 $\Sigma\mapsto \int_\Om \dist(x,\Sigma) d\nu$（经典的最优设施选址问题）。本文比较了两种寻找最优配置的策略：长期策略，即一次性将所有 $n$ 个点置于最优位置；短期策略，即逐次放置点，每步至多增加一个点到已在前序步骤中建立的配置中并保持该配置。我们证明了当 $n\to\infty$ 时，相应的优化问题表现出定性不同的渐近行为，尽管两种情形的优化代价具有相同的渐近消失阶。