对数积分：从 Gradshteyn 与 Ryzhik 到近期的综述

在包括数学科学、物理科学在内的几乎所有定量领域中，对对数积分的求值需求无处不在。物理学中一些近期进展，即费曼图，涉及含对数函数之复杂积分的求值。本文对从 Malmsten 积分到 I. S. Gradshteyn 与 I. M. Ryzhik 的经典积分、级数与乘积集 [1] 再到近期的对数积分进行了系统综述。此类积分的求值涉及更高超越函数（即 Hurwitz Zeta 函数、多对数函数、Lerch 超越函数、正交多项式、多 Gamma 函数）。在更一般的意义上，本文考虑如下类型的积分：\begin{align*} \int_{0}^{a} f(x) \ln{\{g(x)\}} \ dx \end{align*} 其中 $a \in R^{+}$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 同为有理/三角函数或同为此两类函数。