局部敏感排序及其在可靠 spanner 上的应用

Chan、Har-Peled 和 Jones [2020] 近期提出了局部敏感排序（LSO），这是一种可将欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中的问题归约到一维直线的新工具。他们利用 LSO 解决了一系列问题。随后，Buchin、Har-Peled 和 Ol{\'{a}}h [2019,2020] 使用 Chan 等人的 LSO 为欧几里得空间构造了非常稀疏的\emph{可靠 spanner}。可靠 spanner 的一个备受青睐的特性是其承受大规模故障的能力：即便 90\% 的节点失效，网络仍能正常运行。在后续工作中，Har-Peled、Mendel 和 Ol{\'{a}}h [2021] 为一般及拓扑结构化度量构造了可靠 spanner。他们的构造采用了不同方法，并基于稀疏覆盖。本文通过引入适用于一般及拓扑结构化度量的新型 LSO，发展了非欧几里得度量中 LSO 的理论。随后我们构造了此类 LSO，并为翻倍度量构造了显著改进的 LSO。之后，我们利用新的 LSO 构造了具有更优拉伸与稀疏度参数的可靠 spanner。最突出的是，我们为树和平面图构造了大小为 $\tilde{O}(n)$ 且最优拉伸为 $2$ 的可靠 spanner。在构造 LSO 与可靠 spanner 的过程中，我们引入并构造了超度量覆盖，并为直线构造了 2-跳可靠 spanner。