无强凸性下秩一矩阵恢复中Frank-Wolfe方法的线性收敛

我们考虑被广泛用作低秩矩阵恢复问题凸松弛的凸优化问题。特别地，在若干重要问题(如相位恢复和鲁棒PCA)中，许多情形下的基本假设是最优解为秩一。本文考虑目标函数上的一个简单而自然的充分条件，使得这些松弛的最优解确为唯一且秩一。主要地，我们证明在此条件下，标准带线搜索的Frank-Wolfe方法(即无需任何参数调节)每迭代仅需一次秩一SVD计算，可在仅 $O(\log{1/\epsilon})$ 次迭代内找到 $\epsilon$-近似解(此前已知最优界为 $O(1/\epsilon)$)，尽管目标函数并非强凸。我们考虑了具有更优复杂度的几种基本方法变体，以及受鲁棒PCA启发的扩展，最后给出了向非光滑问题的扩展。