前生物进化置换不变 Crow-Kimura 模型的线性代数

本文研究了著名的准种模型的一个特例——具有置换不变适应度景观的 Crow-Kimura 模型。利用置换不变适应度景观下突变矩阵具有特殊三对角形式这一事实，我们提出了一种基变换，使得在新坐标系中可以获得若干解析结果。特别是，利用突变矩阵的特征向量作为新基，我们证明了准种分布趋近于二项分布，并给出了收敛速度的简单估计。所提方法的另一个推论是确定了准种的方程组的参数解。利用该参数解，我们表明在某些现有方法未涵盖的情况下，我们的方法能导出精确的渐近结果。特别是，我们不仅能给出主特征值（平均种群适应度）的极限行为，还能给出特殊情况下极限准种特征向量的精确公式。例如，在经典的单峰适应度景观情况下，该特征向量服从几何分布。在生物学方面，我们基于准种与二项分布的接近程度提出了一个数学定义，可用作著名的误差阈值的操作性定义。利用该定义，我们提出了两个近似公式来估计发生准种离域后的临界突变率。