$\reals^3$ 中凸多面体的线横截

我们给出了 $\reals^3$ 中 $k$ 个凸多面体（总计 $n$ 个面）的集合 $\mathcal{T}$ 的线横截的组合复杂度的 $O(n^2k^{1+\varepsilon})$ 上界（对任意 $\varepsilon>0$），并给出了一个在可比期望时间内计算 $\mathcal{T}$ 边界的随机化算法。因此，当 $k \ll n$ 时，$\mathcal{T}$ 的新复杂度界（及构造代价）改进了此前已知的近 $n$ 立方的界。为获得上述结果，我们研究了从固定直线 $\ell_0$ 发出的线横截集合 $\mathcal{T}_L$，建立了其组合复杂度的近似紧界 $O(nk^{1+\varepsilon})$，并给出了一个在可比期望时间内计算 $\mathcal{T}_L$ 的随机化算法。对于两种特殊情形——假设 $\mathcal{P}$ 中的多面体两两不相交：$\ell_0$ 与 $\mathcal{P}$ 中的多面体不相交的情形，以及 $\mathcal{P}$ 中的多面体在平行于 $\ell_0$ 的方向上无界的情形——分别建立了 $\mathcal{T}_L$ 组合复杂度的略微改进的界以及构造该集合代价的相应改进。