标量场衍射的线积分表示

传统上，满足亥姆霍兹方程的标量波通过黑屏上孔径的衍射问题，可通过孔径上的基尔霍夫积分近似求解。Rubinowicz 则能将解分解为两部分：一部分是仅出现在几何照明区域内的几何部分，另一部分代表反射波，是沿孔径边缘的线积分。然而，这种分解并不完全令人满意，因为两个分离的场在照明区域边界处是不连续的。此外，由于被积函数中存在一些令人困惑的因子，线积分的函数形式并非普通反射波所预期的形式。最后，基尔霍夫近似在屏上施加的边界条件在数学上是不自洽的，因此，严格来说，必须考虑正确的边界条件对该分解公式进行略微修正。在本文中，我们利用自洽的边界条件推导出了一个略有不同的分解公式，该公式表明衍射波在边缘处的行为恰好如同普通反射，从而实现了托马斯·杨在 18 世纪提出的猜想。我们还推导了另一个分解公式，避免了 Rubinowicz 方法中遇到的数学不连续性。在最后部分，我们证明了我们的解与索末菲在严格的二维平面波衍射问题中获得的解一致，因此在此意义上，我们的公式比基尔霍夫公式能更准确地描述孔径边缘附近衍射波的行为。