具有无界 $(p,q)$ 范数的作用收敛图序列的极限

Backhausz 与 Szegedy 最近提出的作用收敛概念统一并推广了图序列的稠密（graphon）收敛与局部-全局（graphing）收敛。这是通过将图视为算子并考察其动力学性质来实现的。设 $(A_n)_n^\infty$ 是表示图的一列算子，关于作用度量是 Cauchy 的。若 $(A_n)_n^\infty$ 具有一致有界的 $(p,q)$ 范数，其中 $(p,q)$ 是 $[1,\infty)\times(1,\infty)$ 中的任意一对，则 Backhausz 与 Szegedy 证明 $(A_n)_n^\infty$ 存在极限算子，且该算子必为自伴且保正的。在本文中，我们构造了一大类的图序列，其唯一一致有界的 $(p,q)$ 范数是 $(\infty,1)$ 范数，但它们仍然收敛。我们证明此情形下的极限算子不唯一、非自伴，且不必保正。特别地，在作用收敛的语言下，这意味着 graphop 空间不是紧的。通过辨识这些多个极限，我们还证明了当恒等函数是特征函数时，$c$-正则性在弱等价下不保持不变，其中 $c$ 是恒等函数的特征值。